Contoh PD

Tentukan solusi dari persamaan berikut!!!

y(1 – x)dx + x2(1 – y)dy = 0

Jawab:

y(1-x)dx+ x^2  (1-y)dy=0 

x^2  (1-y)dy=- y(1-x)dx Kedua ruas di kali  1/(x^2 y)

((1-y))/y dy = -  ((1-x))/x^2  dx

∫▒〖((1-y))/y dy〗 = -∫▒〖((1-x))/x^2  dx〗

∫▒〖1/y dy-〗 ∫▒〖y/y dy〗 = -(∫▒〖1/x^2  dx〗-∫▒〖x/x^2  dx〗)

∫▒〖1/y dy-〗 ∫▒〖y/y dy〗 = -∫▒〖1/x^2  dx〗+∫▒〖x/x^2  dx〗

∫▒〖1/y dy-〗 ∫▒1dy = -∫▒〖x^(-2) dx〗+∫▒〖1/x dx〗

ln⁡〖(y)  〗– ln⁡(x)  = x^(-1)+ y+c_3+ c_4-c_2-c_1

ln⁡〖((y))/((x))  〗= 1/x  +y+C

2xy(4 – y2)dx + (y – 1)(x2 +2)dy = 0

Jawab:

2xy(4- y^2 )dx+(y-1)(x^2+ 2)dy=0 

(y-1)(x^2+ 2)dy= -2xy(4- y^2 )dx 

(y-1)(x^2+ 2)dy= -2x(4y- y^3 )dx  Kedua Ruas di kali 1/((4y - y^3 )(x^2+ 2))

((y - 1))/((4y - y^3)) dy =  -  2x/(x^2+ 2) dx

((y - 1))/(y(4 - y^2)) dy =  -  2x/(x^2+ 2) dx

∫▒〖((y – 1))/y(4 – y^2 )  dy〗 = - ∫▒〖2x/(x^2+ 2) dx〗

 ∫▒〖y/(y(4 - y^2)) dy - 〗 ∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy=〗 - ∫▒〖2x/(x^2+ 2) dx〗

∫▒〖1/((4 - y^2)) dy - 〗 ∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy=〗 - ∫▒〖2x/(x^2+ 2) dx〗

Selesaikan satu persatu...

∫▒〖2x/(x^2+ 2) dx〗=⋯

Misal:

x^2+ 2=u

2xdx=du

Jadi,

∫▒〖2x/(x^2+ 2) dx〗= ∫▒〖du/u=〗  ln⁡(u)+ c=ln⁡〖(x^2 〗+ 2)+c

∫▒〖1/((4 – y^2 ) ) dy= 〗  1/4  ln⁡〖(2+y)/(2-y)〗+ c 

∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy=⋯〗

Misalkan:

1/(y(4 - y^2))= A/y+ (By+C )/((4 - y^2))  =  (A(4-y^2 )+y(By+C) )/(y(4 - y^2))  

Dari persamaan: A(4-y^2 )+y(By+C)=1,diperoleh:

A(4-y^2 )+y(By+C)=1

4A-Ay^2+ By^2+ Cy=1

4A-(A- B)y^2+ Cy=1

4A=1 

A= 1/4

A - B=0 

1/4-B=0

B=1/4  

C=0

Dengan demikian diperoleh nilai A= 1/4,B= 1/4,dan C=0 .

Subtitusi nilai-nilai tersebut kedalam persamaan sebelumya kemudian integralkan.

1/(y(4 - y^2))= (1/4)/y+ (1/4 y)/((4 - y^2))

∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy 〗=∫▒(1/4)/y  dy+∫▒〖(1/4 y )/((4 - y^2)) dy〗  

∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy 〗=1/4 ∫▒1/y  dy+1/4 ∫▒〖(y )/((4 - y^2)) dy〗  

∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy 〗=1/4  ln⁡(y)+ 1/4  x  1/4  ln (2 + y)/(2 - y)+ c 

∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy 〗=1/4  ln⁡(y)+ 1/8  ln (2 + y)/(2 - y)+ c

Dengan demikian :

∫▒〖1/((4 - y^2)) dy - 〗 ∫▒〖1/(y(4 - y^2)) dy=〗 - ∫▒〖2x/(x^2+ 2) dx〗

1/4  ln⁡〖(2+y)/(2-y)〗+ c_1-(1/4  ln⁡(y)+ 1/8  ln (2 + y)/(2 - y)+ c_2)= -(ln⁡〖(x^2 〗+ 2)+c_3)

2 ln⁡〖(2+y)/(2-y)〗+ c_1-2ln⁡(y)-  ln (2 + y)/(2 - y)- 8c_2= -8ln⁡〖(x^2 〗+ 2)- 8c_3

2 ln⁡〖(2+y)/(2-y)〗-2 ln⁡(y)-  ln (2 + y)/(2 - y)+8 ln⁡〖(x^2 〗+ 2)= - 〖8c〗_3-8 c_1+8 c_2

ln (2 + y)/(2 - y)- 2 ln⁡(y)+8 ln⁡〖(x^2 〗+ 2)=C

(1 + 2x2)y dy/dx = 2x(1 + y2)

Jawab:

(1+2x^2 )y  dy/dx=2x(1+ y^2  )

(1+2x^2 )y dy=2x(1+ y^2  )dx Kedua ruas di kali 1/((1+2x^2 )(1+ y^2  ))

y/((1+ y^2  )) dy=2x/((1+2 x^2  ))  dx

∫▒y/((1+ y^2  )) dy=∫▒2x/((1+2 x^2  ))  dx

Selesaikan satu persatu...

∫▒2x/((1+2 x^2  )) dx=⋯ 

Misal:

(1+2x^2 )=u

(4x)dx=du

(2x)dx=1/2 du

Jadi,

∫▒2x/((1+2 x^2  )) dx= ∫▒(1/2 du)/u= 1/2 ∫▒du/u=1/2   ln⁡(u)+ c= 1/2   ln⁡(1+2x^2 )+ c 

∫▒y/((1+ y^2  )) dy=⋯

Misal:

1+ y^2=u

2y dy=du

y dy= 1/2 du

Jadi,

∫▒y/((1+ y^2  )) dy=∫▒(1/2 du)/u=1/2  ∫▒du/u  =  1/2  ln⁡〖(u)+ c= 1/2〗  ln⁡〖(1+ y^2 )+ c〗 

Dengan demikian,

∫▒y/((1+ y^2  )) dy=∫▒2x/((1+2 x^2  ))  dx

1/(2 )  ln⁡〖(1+ y^2 )+ c_1 〗  = 1/2   ln⁡(1+2x^2 )+ c_2

1/2  〖 ln〗⁡〖(1+ y^2 )  - 〗   1/2   ln⁡(1+2x^2 )=+ c_2- c_1

〖 ln〗⁡〖(1+ y^2 )  - 〗   ln⁡(1+2x^2 )=2C

〖 ln〗⁡〖((1+ y^2 ))/((1+2x^2 ) )  = 〗 e^2c

x2y dx + (x +1) dy = 0

Jawab:

x^2 y dx+(x +1)dy= 0

(x +1)dy=-x^2 y dx  Kedua ruas di kali 1/(y(x + 1))

1/y dy=-x^2/((x+1))  dx  

∫▒1/y dy=-∫▒x^2/((x+1))  dx  

Selesaikan terlebih dahulu,

∫▒x^2/((x+1))  dx=⋯  

Misal:

x +1=u maka,x=u-1 dan x^2=〖(u-1)〗^2 

dx=du

Jadi,

∫▒x^2/((x+1))  dx=∫▒〖(u-1)〗^2/u  du

∫▒x^2/((x+1))  dx=∫▒((u^2-2u+1))/u  du

∫▒x^2/((x+1))  dx=∫▒u^2/u  du-∫▒2u/u  du+∫▒1/u  du

∫▒x^2/((x+1))  dx=∫▒u  du-∫▒2  du+∫▒1/u  du

∫▒x^2/((x+ 1))  dx= 1/2  u^2- 2u+ln⁡〖(u)+c〗

∫▒x^2/((x+ 1))  dx= 1/2  〖(x+1)〗^2- 2(x + 1)+ ln⁡〖(x + 1)+c〗

∫▒x^2/((x+ 1))  dx= 1/2  (x^(2 )+2x+1)- 2x-2+ ln⁡〖(x + 1)+c〗

∫▒x^2/((x+ 1))  dx= 1/2  x^2+ x + 1/2  - 2x-2+ ln⁡〖(x + 1)+c〗

∫▒x^2/((x+ 1))  dx= 1/2  x^2- x-3/2  + ln⁡〖(x + 1)+c〗

Dengan demikian,

∫▒1/y dy=-∫▒x^2/((x+1))  dx  

ln⁡(y)+ c_1  =-(  1/2  x^2- x-3/2  + ln⁡〖(x + 1)  + c_2  )〗 

ln⁡(y)+ c_1  =-  1/2  x^2+ x+3/2  -  ln⁡〖(x + 1)- c_2  〗 

ln⁡〖(y)+〗  ln⁡(x + 1)  =-  1/2  x^2+ x+3/2  - c_2- c_1

ln⁡(y)(x + 1)=- 1/2  x^2+ x+3/2  +C

y3 dx + √(1- x^2 ) dy = 0

Jawab:

y^3  dx+ √(1 - x^2 ) dy=0 

 √(1 - x^2 ) dy=〖-y〗^3  dx Kedua ruas di kali 1/(y^3 √(1 - x^2 ))

1/y^3  dy= -1/√(1- x^2 ) dx

∫▒1/y^3  dy= -∫▒1/√(1- x^2 ) dx

-1/2 y^(-2)+ c_1= -(arc sin⁡〖x+ c_2)〗

-1/(2y^(2 ) )+ c_1= -arc sin⁡〖x+ c_2 〗

1/(2y^(2 ) )+ arc sin⁡x=  c_2-c_1

1/y^(2 ) +2 arc sin⁡x=  2C

1/y^(2 ) +2 arc sin⁡x=  C

dy/dx= 〖(2-y)〗^2/(2√(1+x))

Jawab:

dy/dx= 〖(2-y)〗^2/(2√(1+x))

2√(1+x) dy〖= (2-y)〗^2 dx  Kedua ruas  di kali dengan 1/(〖(2-y)〗^2 √(1+x))

2 1/〖(2-y)〗^2  dy= 1/√(1 +x) dx

∫▒〖2 1/〖(2-y)〗^2 〗 dy= ∫▒1/√(1 +x) dx

2∫▒1/〖(2-y)〗^2  dy= ∫▒1/√(1 +x) dx

Selesaikan satu persatu terlebih dahulu..

∫▒2/〖(2-y)〗^2  dy=⋯

Misal:

2-y=u

-dy=du

dy= -du

Jadi,

∫▒2/〖(2-y)〗^2  dy=2 ∫▒(-1)/u^2  du=2 ∫▒〖-u〗^(-2)  du=2u^(-1)+ c= 21/u  +c=2 1/((2-y))+ c 

∫▒1/√(1 +x) dx=⋯

Misal:

1+x=u

dx=du

Jadi,

∫▒1/√(1 +x) dx= ∫▒1/u^(1/2)  du= ∫▒〖u^(-1/2)= -2u^(1/2) 〗+ c= -2√(1+x)  + c 

Dengan demikian,

2∫▒1/〖(2-y)〗^2  dy= ∫▒1/√(1 +x) dx

2(1/((2-y) )+ c)= -2√(1+x)  + c

2/(2-y)= -2√(1+x)  + c

2/(2-y)+2√(1+x)=c_2  -  c_1

2/(2-y)+2√(1+x)=C

dy/dx= (4x+x y^2)/(y-x^2 y) 

Jawab:

dy/dx= (4x+x y^2)/(y-x^2 y) 

(y-x^2 y)dy=(4x+〖xy〗^2 )dx

y(1-x^2 )dy=x(4+y^2 )dx Kedua ruas di kali 1/((1 - x^2 )(4+y^2))

y/((4+y^2 ) ) dy=x/((1 – x^2 ) ) dx 

∫▒y/((4+y^2)) dy=∫▒x/((1 - x^2 ) ) dx

Selesaikan satu persatu..

∫▒y/((4+y^2)) dy=⋯

Misal:

4+y^2=u

2y dy=du

y dy= 1/2 du

Jadi,

∫▒y/((4+y^2)) dy=∫▒(1/2 du)/u=1/2 ∫▒du/u= 1/2  ln⁡〖(u)+ c=〗  1/2  ln⁡〖(4+y^2 )+ c〗

∫▒x/((1 – x^2 ) ) dx=⋯

Misal:

1-x^2=u

-2x dx=du

xdx= -1/2 du

Jadi,

∫▒x/((1 – x^2 ) ) dx= ∫▒(-1/2 du)/u=  -1/2 ∫▒du/u=- 1/2  ln⁡〖(u)+c〗= -  1/2  ln⁡〖(1-x^2 )+c〗

`

Dengan demikian,

∫▒y/((4+y^2)) dy=∫▒x/((1 - x^2 ) ) dx

1/2  ln⁡〖(4+y^2 )+ c_1 〗= - 1/2 ln⁡〖(1-x^2 )+c〗_2

1/2  ln⁡〖(4+y^2 )+1/2 ln⁡(1-x^2 )_  〗= c_2- c_1

ln⁡〖(4+y^2 )(1-x^2)〗= 2C

 ⁡〖(4+y^2 )(1-x^2)〗= e^2c