Contoh soal PD Homogen

Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut:

dy/dx  =  (〖4x〗^(2 )+ 〖3y〗^2)/2xy

Jawab:

  dy/dx  =  (〖4x〗^(2 )+ 〖3y〗^2)/2xy

(2xy)dy = (〖4x〗^(2 )+ 〖3y〗^2 )  dx 

2x(vx)  dy = (〖4x〗^(2 )+ 3 〖(vx)〗^2 )  dx

    (〖2x〗^(2 ) v)  dy  = (4x^2  +3v^2 x^2 )  dx

     (2x^2  v)  (v dx +x dx)=4x^2  dx +3v^2 x^2  dx

〖2x〗^2 v^2  dx +2x^3 v dv =4x^2  dx +3v^2 x^2  dx

〖2x〗^3 v dv =4x^2  dx +3v^2 x^2  dx-2x^2 v^2  dx

        2x^3 v dv =4x^2  dx + v^2 x^2  dx

       2x^3 v dv = x^2 (4 + v^2 )  dx

∫▒(2v dv)/(4 + v^(2   ) )  = ∫▒1/x  dx 

Misalkan:

 4 +v^2  =u 

      2v dv =du

     Jadi,

∫▒2v/〖4 +u〗^2   du =∫▒du/u   = ln⁡〖u  〗

=ln|4+v^2 |

Jadi integral dari  ∫▒(2v dv)/(4 + v^(2   ) )  = ∫▒1/x  dx 

ln⁡|4+v^2 |=ln⁡|x|+ln⁡〖c  〗

ln⁡〖c =ln 〗  ((4+v^2))/x

                                        c = (4 +v^2)/x

c=(4 +〖y/x〗^2)/x  

c=( 4 x^2+ y^2)/x^3 

dy/dx= (3y^(3 )- x^3)/〖3xy〗^2 

Jawab:

dy/dx= (3y^(3 )- x^3)/〖3xy〗^2 

(〖3xy〗^2 )dy=(〖3y〗^3- x^3 )dx

3x (vx)^2  dy= 〖(3(vx)〗^3- x^3) dx

3x 〖(v〗^2 x^2)(vdx+xdv)=(3(v^3 x^3 )- x^3 )dx

(〖3x〗^3 v^2 )(vdx+xdv)=(3 v^3 x^3- x^3 )dx

3x^3 v^3  dx+3x^4 v^2  dv=3x^3 v^3  dx- x^(3 ) dx

3x^4 v^2  dv= -x^3 dx

3v^2 dv= (-x^3  dx)/(x^4  )  

3v^2 dv= -  1/x  dx 

∫▒〖3v^(2 ) dv= ∫▒〖-1/x〗〗  dx   

v^3+ c= -ln⁡〖|x|+ln⁡〖c 〗 〗

ln⁡〖|x|+v^3=ln⁡〖c 〗 〗

v^3=ln⁡〖c/x〗   

c/x= e^(v^3 )

c=xe^(v^3 )

c=xe^(〖(y⁄(3 ))〗^3 )

dy/dx= y/x-cot⁡(x/y)

Jawab:

dy/dx= y/x-cot⁡(x⁄y)

dy= (y/x- cot⁡〖y/x〗 )dx

v dx+x dv= (v- cot⁡v )dx

v dx+x dv= vdx-  cot⁡〖v dx〗

x dv= -cot⁡〖 v 〗 dx  

dv/cot⁡v = -dx/x

∫▒dv/cot⁡v = -∫▒dx/x ×  1/((x)(cot⁡〖v)〗 )

∫▒(arc v dv)/(〖sin 〗⁡v  dv)= -∫▒dx/x

ln⁡〖(sin⁡〖v)= -ln⁡(x)+ln⁡〖(c)〗 〗 〗

ln⁡〖c=ln⁡〖 (sin⁡〖v)-ln⁡(x) 〗 〗 〗

c= (sin x/y)/x

cx= sin x/y

dy/dx= (y- √(x^2-y^2 ))/x

Jawab:

dy/dx= (y- √(x^2-y^2 ))/x

x dy=(y- √(x^2-y^2 ))dx

x dy=y dx- √(x^2-y^2   ) dx

x(v dx+x dv)= vx dx- √(x^2-〖(vx〗^2)) dx

x(v dx+x dv)= vx dx- √(x^2-v^2 x^2 ) dx

xv dx+ x^2 dv = vx dx- √(x^2 (1-v^(2 ) ))dx

dv=-x√((1-v^2 ))dx 〖× 〗⁡〖1/((x^2)√((1-v^2 ))〗

dv/√(1-v^2 )= (-x)/x^2  dx

∫▒dv/√(1-v^2 )= ∫▒〖(-1)/x dx〗

∫▒dv/√(1-v^2 )= -∫▒〖1/x dx〗

-arc cos⁡〖 v=〗-ln⁡〖(x)+ ln⁡(c)〗

arc cos⁡〖 v=〗  ln⁡〖(x)- ln⁡(c)〗

arc cos⁡〖 v=〗 ln x/c

arc cos⁡〖y/x〗=ln x/c

x/c= e^(arc cos⁡v )

c=〖xe〗^(arc cos x/y)

dy/dx=1-  y/x- 〖cos〗^2 (y⁄x)

Jawab:

dy/dx=1-  y/x- 〖cos〗^2 (y⁄x)

dy/dx=1- v - 〖cos〗^2 (v)

vdx+xdv=(1-v- 〖cos〗^2 (v) )dx

xdv=dx-vdx-vdx- 〖cos〗^2 vdx

xdv=dx-2vdx- 〖cos〗^2 vdx

xdv=(1-2v-〖cos〗^2 v)dx

1/((1-2v-〖cos〗^2 v)) dv= 1/x dx

∫▒〖1/((1-2v-〖cos〗^2 v)) dv〗=∫▒〖1/x dx〗  

〖ln 〗⁡〖(1-2v-〖cos〗^2 v〗)+ c=ln⁡〖(x)+ln⁡(c) 〗

 ⁡〖(1-2v-〖cos〗^2 v〗)=cx

 c=(1-2v-〖cos〗^2 v)/x

c=(1-2v+1/2(1+cos2v))/x

c=(1-2v+1/2(1+cos2v))/x

c= (1-2(y/x)+ 1/2+1/2  cos⁡〖2 y/x〗)/x

cx= 1-2(y/x)+ 1/2+1/2  cos⁡〖2 y/x〗