persamaan diferensial homogen

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

Pandang kembali persamaan diferensial y’ =  f(x, y) persamaan tersebut dikatakan persamaan diferensial homogen jika fungsi f bergantung pada x dan y tidak secra tepisah, akan tetapi mrupakan perbandingn antara x dan y : xy  atau yx  .

            Tinjau persamaan diferensial berikut:

            dydx  = x+3y2x  

            Persamaan diatas tidak dapat di pecahkan dengan pemisahan variabel. Lakukan subtitusi y = vx dan dy = v dx + x dv, dengan v adalah fungsi x . diferensialkan fungsi y = vx terhadap x, diperoleh:

            dydx  = dvdx  x + v

            x+3y2x  = x+3vx2x  = 1+3v2x

Maka:

            x dvdx  + v = 1+3v2

            x dvdx  = 1+3v2  – v    

          x dvdx  = 1+v2

            21+v  dv = 1x  dx

            21+v  dv = 1x  dx  x

            2 ln |1 + v| + c₁ = ln |x| + c₁     ® (c: ln A)

            ( 1 + v)² = Ax

            Subtitusi kembali y = vx  Þ   ( 1 + yx  )² = Ax  Þ (x + y)² = Ax³

            Kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan mensubtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi x, subtitusi ini akan mengubah persamaan menjadi bentuk yang dapat dipecahkan variabel-variabelnya.

            Persamaan (1) adalah persamaan homogen, karena pangkat x dan y yang terlibat dalam masing-masing suku berderajat sama.

Contoh-contoh:

            Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:

1.      (x-y)dx + x dy = 0

2.      dydx   = y2+ 2xyx2

Penyelesaian:

1.      (x-y)dx + x dy = 0

(1 - yx  )dx + dy = 0  Þ homogeny

Substitusi v = yx  , maka :

(1 – v) dx + x dv + v dx = 0

 Þ dxx  + dv = 0

                  Þ  ln x + v = ln c

                  Þ v = ln cx

                  Þ cx  = ev

               Þ x ev  = c

                  Þ x eyx  = c

2.       dydx   = y2+ 2xyx2

Misalkan y = vx maka:

dydx  = dvdx  x + v

Substitusi y = vx , maka:

Þ y2+ 2xyx2  = v² + 2v

Akibatnya:

dvdx  x + v = v² + 2v

 Þ dxx  = dvv(1+v)

 Þ ln  |x| + c₁ = ln |vv(1+v) | + c₂

 Þ cx = vv(1+v)

 Þ y =  cx2(1-cx)