makalah persamaan diferensial non eksak

Makalah

PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN FAKTOR INTEGRAL

OLEH:

KELOMPOK IV

   ROSMITA

   SADDAM

   SARIMANTANG

   SARWENDA

   SUAEB

   SUCIATI

   SUFYANA

   SURIYANI

   SUSANTI

   A.ZAKIAH NUR

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN) PALOPO

2013

PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN FAKTOR INTEGRAL

Jika terdapat suatu persamaan Px,y+ Qx,ydydx=0  yang bukan eksak dimana Py≠Qx . Kita dapat mengubah persamaan diferensial tersebut menjadi suatu persamaan eksak dengan cara mengalikan dengan suatu fungsi μx,y ,yang juga disebut sebagai faktor  pengitegrasi.

Dengan demikian kita akan memperoleh suatu persamaan:

μ(x,y)Px,y+ μ(x,y)Qx,ydydx=0

Persamaan tersebut akan menjadi suatu persamaan diferensial eksak jika memenuhi:

(μP)y = (μQ)x

            Kesulitan yang dihadapi adalah terkadang sulit untuk memperoleh μ . Oleh sebab itu perhatikan bahwa μx,y= μ(x) . Dengan demikian kita akan memperoleh suatu persamaan diferensial dalam μ  yaitu: 

dμdx= Py- QxQu →  dμμ= Py- QxQdx

Perlu diperhatikan bahwa  Py- QxQu  merupakan suatu fungsi dalam x . Jika hal tersebut telah terpenuhi maka dengan mudah kita dapa memperoleh faktor integral  μ  dan kita memperoleh persamaan diferensial yang eksak.

Contoh:1

 Tentukan persamaan berikut eksak atau tidak  dan tentukan solusinya:

2y dx+xdy=0

Jawab:

2y dx+xdy=0

v  P=2y → Py=2

v  Q=xdy → Qx=1

dμμ= 2- 1xdx → dμμ= 1xdx

Dari persamaan di atas diperoleh μ=x

x2ydx+x(x)dy=0

2xydx+x2 dy=0

Buktikan bahwa:   (μP)y  =(μQ)x

                                   μP =2xy →μPy=2x

 μQ= x2 →(μQ)x   =2x

Terbukti  (μP)y  = (μQ)x     (Eksak)

Dengan demikian,

dfdx=2xy

df=2xy dx

df=2xy dx

f=x2y+cy

f'=x2+c'y

x2+c'y=x2

c'y=0

cy=c

Jadi solusinya adalah:

f=x2y+c   ∎

           

Contoh: 2

 Tentukan solusi dari persamaan berikut dengan faktor pengintegrasi:

  3xy+y2+ x2+ xy dydx =0

Jawab:

 3xy+y2+ x2+ xy dydx =0

3xy+y2+ x2+ xy dydx =0

v  P = 3xy + y² → Py=3x+2y

v  Q = x2+ xy →Qx=2x+y

Karena P_Y ≠ Q_X (non eksak), maka tentukan μ  (x,y). Sehingga

μ 3xy + y2+ μ x2 + xydy dx=0

Misalkan μ= μ x  hanya fungsi dalam x, maka

dμ μ= Py-QxQ dx

dμ μ= 3x+2y-(2x+y)x2+ xy dx

dμ μ= 3x-2y+2y-yx2+ xy dx

dμ μ= x+yx2+ xy dx

dμ μ= (x+y)x(x+y) dx

dμ μ= 1x dx

Dari persamaan di atas diperoleh μ=x

x3xy+ y2 +x(x2+xy)dydx=0

Buktikan bahwa    (μP)y  =(μQ)x

                                   μP =3x2y + xy2→μPy=3x2+ 2xy

 μQ= x3 + x2y→(μQ)x   =3 x2+ 2xy

Terbukti  (μP)y  = (μQ)x     (Eksak)

Dengan demikian,

x3xy+ y2 +x(x2+xy)dydx=0

3x2y+xy2+ x3+ x2ydydx= 0

x3+x2 ydydx= -3x2y+xy2

x3+x2 ydy= -3x2y+xy2dx

3x2y+xy2dx+x3+x2 ydy= 0

Selesaikan  dengan menggunakan  persamaan diferensial eksak,

·         Plih P untuk di integralkan terhadap x

P=3x2y+xy2dx= x3y+12x2y2+ c(y)

Dimana c(y) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabel x yang dapat tergantung pada variable y(fungsi dari variabel y).

·         Turunkan  P terhadap  y dan samakan dengan Q

x3+ x2y+ c'(y)= x3+x2 y

c'y=0 →cy= c

·         Solusinya adalah:

f= x3y+12x2y2+ c    ∎

Contoh: 3

            Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial: ydx+x2y-xdy=0

Jawab:

            Dengan langkah yang sama seperti contoh sebelumya PD ydx+x2y-xdy=0  memiliki faktor pengintegrasi μ= 1x2 .

Dengan demikian.

μydx+μx2y-xdy=0

yx2dx+1x2x2y-xdy=0

Dengan cara yang sama tebukti bahwa (μP)y  = (μQ)x     (Eksak)

Solusi dari persamaan tersebut  adalah:

yx2dx+1x2x2y-xdy=0

yx2dx+(x2yx2-xx2)dy=0

 y - 1xdy= -yx2dx

yx2dx+y - 1xdy= 0

Selesaikan  dengan menggunakan  persamaan diferensial eksak,

·         Plih P untuk di integralkan terhadap x

P=yx2dx= -yx+ c(y)

Dimana c(y) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabel x yang dapat tergantung pada variable y(fungsi dari variabel y).

·         Turunkan  P terhadap  y dan samakan dengan Q

-1x+c'(y)=(y-1x)

c'y=y →cy= 12y2+c

·         Solusinya adalah:

f=-yx+ cy → f=-yx+y22+c     ∎

Contoh: 4

            Tentukan solusi dari persamaan diferensial  cosx dydx+ ysinx= -2 cos3x

Jawab:

                        cosx dydx+ ysinx= -2 cos3x

cosx dy=-(2 cos3 x+ysinx) dx

(2 cos3 x+ysinx) dx+ cosx dy=0

v  P= 2 cos3 x+ysinx→Py =sin x

v  Q=cosx → Qx= -sinx            (Non Eksak)

Karena PD tersebut Non Eksak maka kita perlu mencari fungsi μ ,sehingga PD tersebut menjadi eksak  yaitu:

μ(2 cos3 x+ysinx) dx+μ cosx dy=0

Dengan demikian:

dμμ= sin x –(-sin x)cosxdx

dμμ= 2 sin x cosxdx

dμμ= 2 sin x cosxdx

lnμ= -2lncosx

lnμ= ln1 cos2x

μ= 1cos2x= sec2x

Dengan mengalikan  fungsi μ  maka diperoleh persamaan diferensial yang eksak yaitu:

1cos2x(2 cos3 x+ysinx) dx+1cos2x cosx dy=0

(2cosx+ y tanx.secx)dx +secx dy=0

v  P=(2 cosx+y tanx.secx) → Py=(tan x .secx)

v  Q=secx → Qx=(tanx .secx)             (Eksak)

Selesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial eksak:

dfdx= 2cosx+ y tanx.secx

df= 2cosx+ y tanx.secxdx

df=2cosx+ y tanx.secxdx

f= 2sinx+y secx+c(y)  

f'= secx+c'y \

secx+c'y=secx

c'x= 0

cx=c

Jadi solusinya adalah:

f= 2sinx+y secx+c

    =2sinx+y 1cosx+c

y=c cosx- 2sinx.cosx=c cosx-sin2x   ∎

Contoh: 5

Tentukan solusi dari persamaan diferensial  cos x dydx+ ysinx=1

Jawab:

cos x dydx+ ysinx=1

-(1-ysinx)dx+cosx dy=0

v  P= -1-y sinx → Py=sinx

v  Q=cosx → Qx= -sinx               ( Non Eksak)

Sama seperti sebelumnya,kita cari faktor pengintegral PD tersebut sehingga menjadi eksak.

-μ(1-ysinx)dx+μcosx dy=0

Dengan demikian:

dμμ= 2 sin x cosxdx

dμμ= 2 sin x cosxdx

lnμ= -2lncosx

μ= 1cos2x= sec2x

Jadi.

-1cos2x(1-ysinx)dx+1cos2xcosx dy=0

(-1cos2x+ y tanxsecx)dx+1cosx dy=0

dfdx= (-1cos2x+ y tanxsecx)

df= (-1cos2x+ y tanxsecx)dx

df= (-1cos2x+ y tanxsecx)dx

f=-tanx+ ysecx+c(y)

f'=secx+c'(y)

Q=f'=secx+c'y=secx

c'y=0 → cy=c

Jadi solusinya adalah:

f=ysecx-tanx+c      ∎

Contoh 6:

 Tentukan solusi dari PD  xdy+2y-xexdx=0

Jawab:

xdy+2y-xexdx=0

v  P=2y-xex→ Py=2

v  Q=x → Qx=1                (Non Eksak)

Sama seperti sebelumnya,kita cari faktor pengintegral PD tersebut sehingga menjadi eksak:

μxdy+μ2y-xexdx=0

Jadi,

dμμ= 1 xdx → μ=x

Sehingga,

x2dy+x2y-xexdx=0

v  P=2xy- x2ex → Py=2x

v  Q= x2 → Qx=2x                       (Eksak)

dfdx=2xy - x2ex

df=(2xy - x2ex)dx

f= x2y-(x2ex-2xex+2 ex- cy)

f= x2y-x2ex+2xex-2 ex+ cy

f'= x2+c'(y)

f'=Q=x2+c'y= x2

c'y=0 →cy=c

Jadi solusinya adalah:

f= x2y-x2ex+2xex- 2ex+ cy

f= x2y-x2ex+2xex-2ex+ c       ∎

DAFTAR PUSTAKA

Baisuni, Hasim. 2005. Kalkulus. Jakarta: Universitas Indonesia Prees.

Marwan, dan Said Munzir. 2009. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Bronson, Richard dan Gabriel Costa. 2007. Persamaan Diferensial Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga.

Sumber lain:

http://www.slideshare.net

http://mukhtaribenk.blogspot.com

http://aimprof08.wordpress.com